10.递归经典设计场景
目录介绍
- 01.先提出一个问题
- 02.如何理解“递归”
- 03.递归三个条件
- 04.如何编写递归代码
- 05.警惕堆栈溢出
- 06.警惕重复计算
- 07.递归内容小结
01.先提出一个问题
- 推荐注册返佣金的这个功能我想你应该不陌生吧?现在很多 App 都有这个功能。这个功能中,用户 A 推荐用户 B 来注册,用户 B 又推荐了用户 C 来注册。我们可以说,用户 C 的“最终推荐人”为用户 A,用户 B 的“最终推荐人”也为用户 A,而用户 A 没有“最终推荐人”。
- 一般来说,我们会通过数据库来记录这种推荐关系。在数据库表中,我们可以记录两行数据,其中 actor_id 表示用户 id,referrer_id 表示推荐人 id。
- 基于这个背景,思考问题是,给定一个用户 ID,如何查找这个用户的“最终推荐人”?
02.如何理解“递归”?
- 从自己学习数据结构和算法的经历来看,个人觉得,有两个最难理解的知识点,一个是动态规划,另一个就是递归。+递归是一种应用非常广泛的算法(或者编程技巧)。之后要讲的很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归,比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。所以,搞懂递归非常重要,否则,后面复杂一些的数据结构和算法学起来就会比较吃力。
- 不过,别看我说了这么多,递归本身可是一点儿都不“高冷”,咱们生活中就有很多用到递归的例子。
- 周末你带着女朋友去电影院看电影,女朋友问你,咱们现在坐在第几排啊?电影院里面太黑了,看不清,没法数,现在你怎么办?别忘了你是程序员,这个可难不倒你,递归就开始排上用场了。于是你就问前面一排的人他是第几排,你想只要在他的数字上加一,就知道自己在哪一排了。但是,前面的人也看不清啊,所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问,直到问到第一排的人,说我在第一排,然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排,于是你就知道答案了。+这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程,去的过程叫“递”,回来的过程叫“归”。基本上,所有的递归问题都可以用递推公式来表示。
- 刚刚这个生活中的例子,我们用递推公式将它表示出来就是这样的:
- f(n)=f(n-1)+1 其中,f(1)=1
- 表示你想知道自己在哪一排,f(n-1) 表示前面一排所在的排数,f(1)=1 表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式,我们就可以很轻松地将它改为递归代码,如下:
int f(int n) { if (n == 1) return 1; return f(n-1) + 1; }
03.递归三个条件
- 递归需要满足的三个条件。刚刚这个例子是非常典型的递归,那究竟什么样的问题可以用递归来解决呢?我总结了三个条件,只要同时满足以下三个条件,就可以用递归来解决。
- 1.一个问题的解可以分解为几个子问题的解
- 何为子问题?子问题就是数据规模更小的问题。比如,前面讲的电影院的例子,你要知道,“自己在哪一排”的问题,可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。
- 2.这个问题与分解之后的子问题,除了数据规模不同,求解思路完全一样
- 比如电影院那个例子,你求解“自己在哪一排”的思路,和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路,是一模一样的。
- 3.存在递归终止条件+把问题分解为子问题,把子问题再分解为子子问题,一层一层分解下去,不能存在无限循环,这就需要有终止条件。
- 还是电影院的例子,第一排的人不需要再继续询问任何人,就知道自己在哪一排,也就是 f(1)=1,这就是递归的终止条件。
04.如何编写递归代码
- 假如这里有 n 个台阶,每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶,请问走这 n 个台阶有多少种走法?如果有 7 个台阶,你可以 2,2,2,1 这样子上去,也可以 1,2,1,1,2+这样子上去,总之走法有很多,那如何用编程求得总共有多少种走法呢?
- 仔细想下,实际上,可以根据第一步的走法把所有走法分为两类,第一类是第一步走了 1 个台阶,另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后,n-1 个台阶的走法 加上先走 2 阶后,n-2 个台阶的走法。用公式表示就是:f(n) = f(n-1)+f(n-2)
- 有了递推公式,递归代码基本上就完成了一半。我们再来看下终止条件。当有一个台阶时,我们不需要再继续递归,就只有一种走法。所以 f(1)=1。这个递归终止条件足够吗?我们可以用 n=2,n=3 这样比较小的数试验一下。
- n=2 时,f(2)=f(1)=f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1,那 f(2) 就无法求解了。所以除了 f(1)=1 这一个递归终止条件外,还要有 f(0)=1,表示走 0 个台阶有一种走法,不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以,我们可以把 f(2)=2 作为一种终止条件,表示走 2 个台阶,有两种走法,一步走完或者分两步来走。
- 所以,递归终止条件就是 f(1)=1,f(2)=2。这个时候,你可以再拿 n=3,n=4 来验证一下,这个终止条件是否足够并且正确。
- 把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的:
f(1) = 1; f(2) = 2; f(n) = f(n-1)+f(n-2)
- 有了这个公式,我们转化成递归代码就简单多了。最终的递归代码是这样的:
int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; return f(n-1) + f(n-2); }
- 总结一下,写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律,并且基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,最后将递推公式和终止条件翻译成代码。
05.警惕堆栈溢出
- 在实际的软件开发中,编写递归代码时,我们会遇到很多问题,比如堆栈溢出。而堆栈溢出会造成系统性崩溃,后果会非常严重。为什么递归代码容易造成堆栈溢出呢?我们又该如何预防堆栈溢出呢?
- 在“栈”那一节讲过,函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数,都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈,等函数执行完成返回时,才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大,调用层次很深,一直压入栈,就会有堆栈溢出的风险。
- 比如前面的讲到的电影院的例子,如果我们将系统栈或者 JVM 堆栈大小设置为 1KB,在求解 f(19999) 时便会出现如下堆栈报错:Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError
- 那么,如何避免出现堆栈溢出呢?
- 可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度(比如 1000)之后,我们就不继续往下再递归了,直接返回报错。还是电影院那个例子,我们可以改造成下面这样子,就可以避免堆栈溢出了。不过,我写的代码是伪代码,为了代码简洁,有些边界条件没有考虑,比如 x<=0。
// 全局变量,表示递归的深度。 int depth = 0; int f(int n) { ++depth; if (depth > 1000) throw exception; if (n == 1) return 1; return f(n-1) + 1; }
- 但这种做法并不能完全解决问题,因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关,事先无法计算。如果实时计算,代码过于复杂,就会影响代码的可读性。所以,如果最大深度比较小,比如 10、50,就可以用这种方法,否则这种方法并不是很实用。
06.警惕重复计算
- 除此之外,使用递归时还会出现重复计算的问题。刚才讲的第二个递归代码的例子,如果我们把整个递归过程分解一下的话,那就是这样的:
- 从图中,我们可以直观地看到,想要计算 f(5),需要先计算 f(4) 和 f(3),而计算 f(4) 还需要计算 f(3),因此,f(3) 就被计算了很多次,这就是重复计算问题。
- 为了避免重复计算,我们可以通过一个数据结构(比如散列表)来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时,先看下是否已经求解过了。如果是,则直接从散列表中取值返回,不需要重复计算,这样就能避免刚讲的问题了。
- 按照上面的思路,我们来改造一下刚才的代码:
public int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; // hasSolvedList 可以理解成一个 Map,key 是 n,value 是 f(n) if (hasSolvedList.containsKey(n)) { return hasSovledList.get(n); } int ret = f(n-1) + f(n-2); hasSovledList.put(n, ret); return ret; }
- 除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题。递归代码还有很多别的问题。在时间效率上,递归代码里多了很多函数调用,当这些函数调用的数量较大时,就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上,因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据,所以在分析递归代码空间复杂度时,需要额外考虑这部分的开销,比如我们前面讲到的电影院递归代码,空间复杂度并不是 O(1),而是 O(n)。
07.递归内容小结
- 关于递归的知识,到这里就算全部讲完了。总结一下。递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足“三个条件”的问题就可以通过递归代码来解决。
- 不过递归代码也比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去,正确姿势是写出递推公式,找出终止条件,然后再翻译成递归代码。+递归代码虽然简洁高效,但是,递归代码也有很多弊端。比如,堆栈溢出、重复计算、函数调用耗时多、空间复杂度高等,所以,在编写递归代码的时候,一定要控制好这些副作用。