07.二叉树设计和用途
目录介绍
- 01.二叉树的定义
- 02.二叉树的性质
- 03.二叉树分类
01.二叉树的定义
- 二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态:二叉树可以是空集;根可以有空的左子树或右子树;或者左、右子树皆为空。
img
- 结构图如下所示
img
- 除此之外,树还有三个比较相似的概念:高度(Height)、深度(Depth)、层(Level)。
- 他们的定义是这样的:
- 节点的高度 = 节点到叶子节点的 最长路径(有几条边连接的)
- 节点的深度 = 根节点到这个节点所经历的边的个数
- 节点的层数 = 节点的深度 + 1
- 树的高度 = 根节点的高度
- note:记忆方式,高度是从下往上算(叶子节点到该节点),深度是从上往下算(根节点到该节点)、高度和深度都是从 0 计数。层数是从 1 计数,跟深度计算类似。
image
- 他们的定义是这样的:
02.二叉树的性质
- 二叉树有以下几个性质: 性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为
(i≥1)。 性质2:深度为k的二叉树至多有 个结点(k≥1)。 性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为 。 性质4:在任意一棵二叉树中,若叶子结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。
2.1 性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为 (i≥1)
- 证明:下面用"数学归纳法"进行证明。
- (01) 当i=1时,第i层的节点数目为1。因为第1层上只有一个根结点,所以命题成立。
- (02) 假设当i>1,第i层的节点数目为
。这个是根据(01)推断出来的!
- 下面根据这个假设,推断出"第(i+1)层的节点数目为
"即可。- 由于二叉树的每个结点至多有两个孩子,故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即,第(i+1)层上的结点数目最大值=2×
= 。 - 故假设成立,原命题得证!
- 由于二叉树的每个结点至多有两个孩子,故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即,第(i+1)层上的结点数目最大值=2×
2.2 性质2:深度为k的二叉树至多有 个结点(k≥1)
- 证明:在具有相同深度的二叉树中,当每一层都含有最大结点数时,其树中结点数最多。利用"性质1"可知,深度为k的二叉树的结点数至多为:
- $ 2^0+2^1+…+2^{k-1}=2^k-1$
- 故原命题得证!
2.3 性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为
- 证明:根据"性质2"可知,高度为h的二叉树最多有
个结点。反之,对于包含n个节点的二叉树的高度至少为 。
2.4 性质4:在任意一棵二叉树中,若终端结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1
- 证明:因为二叉树中所有结点的度数均不大于2,所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此,得到等式一。
- (等式一) n=n0+n1+n2
- 另一方面,0度结点没有孩子,1度结点有一个孩子,2度结点有两个孩子,故二叉树中孩子结点总数是:n1+2n2。此外,只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
- (等式二) n=n1+2n2+1
- 由(等式一)和(等式二)计算得到:n0=n2+1。原命题得证!
03.二叉树分类
3.1 满二叉树
- 定义:高度为h,并且由
个结点的二叉树,被称为满二叉树。img
3.2 完全二叉树
- 定义:一棵二叉树中,只有最下面两层结点的度可以小于2,并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
- 特点:叶子结点只能出现在最下层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然,一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树,而完全二叉树未必是满二叉树。
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3.3 二叉查找树
- 定义:二叉查找树(Binary Search Tree),又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点,x节点包含关键字key,节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点,则key[y] <= key[x];如果y是x的右子树的一个结点,则key[y] >= key[x]。
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- 在二叉查找树中:
- (01) 若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
- (02) 任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
- (03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
- (04) 没有键值相等的节点(no duplicate nodes)。
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- 01.二叉树的定义
- 02.二叉树的性质
- 03.二叉树分类
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01.二叉树的定义
- 二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态:二叉树可以是空集;根可以有空的左子树或右子树;或者左、右子树皆为空。
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- 结构图如下所示
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- 除此之外,树还有三个比较相似的概念:高度(Height)、深度(Depth)、层(Level)。
- 他们的定义是这样的:
- 节点的高度 = 节点到叶子节点的 最长路径(有几条边连接的)
- 节点的深度 = 根节点到这个节点所经历的边的个数
- 节点的层数 = 节点的深度 + 1
- 树的高度 = 根节点的高度
- note:记忆方式,高度是从下往上算(叶子节点到该节点),深度是从上往下算(根节点到该节点)、高度和深度都是从 0 计数。层数是从 1 计数,跟深度计算类似。
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- 他们的定义是这样的:
02.二叉树的性质
- 二叉树有以下几个性质: 性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为
(i≥1)。 性质2:深度为k的二叉树至多有 个结点(k≥1)。 性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为 。 性质4:在任意一棵二叉树中,若叶子结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。
2.1 性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为 (i≥1)
- 证明:下面用"数学归纳法"进行证明。
- (01) 当i=1时,第i层的节点数目为1。因为第1层上只有一个根结点,所以命题成立。
- (02) 假设当i>1,第i层的节点数目为
。这个是根据(01)推断出来的!
- 下面根据这个假设,推断出"第(i+1)层的节点数目为
"即可。- 由于二叉树的每个结点至多有两个孩子,故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即,第(i+1)层上的结点数目最大值=2×
= 。 - 故假设成立,原命题得证!
- 由于二叉树的每个结点至多有两个孩子,故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即,第(i+1)层上的结点数目最大值=2×
2.2 性质2:深度为k的二叉树至多有 个结点(k≥1)
- 证明:在具有相同深度的二叉树中,当每一层都含有最大结点数时,其树中结点数最多。利用"性质1"可知,深度为k的二叉树的结点数至多为:
- $ 2^0+2^1+…+2^{k-1}=2^k-1$
- 故原命题得证!
2.3 性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为
- 证明:根据"性质2"可知,高度为h的二叉树最多有
个结点。反之,对于包含n个节点的二叉树的高度至少为 。
2.4 性质4:在任意一棵二叉树中,若终端结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1
- 证明:因为二叉树中所有结点的度数均不大于2,所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此,得到等式一。
- (等式一) n=n0+n1+n2
- 另一方面,0度结点没有孩子,1度结点有一个孩子,2度结点有两个孩子,故二叉树中孩子结点总数是:n1+2n2。此外,只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
- (等式二) n=n1+2n2+1
- 由(等式一)和(等式二)计算得到:n0=n2+1。原命题得证!
03.二叉树分类
3.1 满二叉树
- 定义:高度为h,并且由
个结点的二叉树,被称为满二叉树。img
3.2 完全二叉树
- 定义:一棵二叉树中,只有最下面两层结点的度可以小于2,并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
- 特点:叶子结点只能出现在最下层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然,一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树,而完全二叉树未必是满二叉树。
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3.3 二叉查找树
- 定义:二叉查找树(Binary Search Tree),又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点,x节点包含关键字key,节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点,则key[y] <= key[x];如果y是x的右子树的一个结点,则key[y] >= key[x]。
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- 在二叉查找树中:
- (01) 若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
- (02) 任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
- (03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
- (04) 没有键值相等的节点(no duplicate nodes)。