07.二叉树设计和用途

目录介绍

01.二叉树的定义
02.二叉树的性质
03.二叉树分类

01.二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
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结构图如下所示
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除此之外，树还有三个比较相似的概念：高度(Height)、深度(Depth)、层(Level)。
- 他们的定义是这样的：
  - 节点的高度 = 节点到叶子节点的最长路径（有几条边连接的）
  - 节点的深度 = 根节点到这个节点所经历的边的个数
  - 节点的层数 = 节点的深度 + 1
  - 树的高度 = 根节点的高度
- note：记忆方式，高度是从下往上算（叶子节点到该节点），深度是从上往下算（根节点到该节点）、高度和深度都是从 0 计数。层数是从 1 计数，跟深度计算类似。
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02.二叉树的性质

二叉树有以下几个性质： 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 $2^{i - 1}$ (i≥1)。 性质2：深度为k的二叉树至多有 $2^{k} - 1$ 个结点(k≥1)。 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为 $l o g_{2} (n + 1)$ 。 性质4：在任意一棵二叉树中，若叶子结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

2.1 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 $2^{i - 1}$ (i≥1)

证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
- (01) 当i=1时，第i层的节点数目为1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
- (02) 假设当i>1，第i层的节点数目为 $2^{i - 1}$ 。这个是根据(01)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为 $2^{i}$ "即可。
- 由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2× $2^{i - 1}$ = $2^{i}$ 。
- 故假设成立，原命题得证！

2.2 性质2：深度为k的二叉树至多有 $2^{k} - 1$ 个结点(k≥1)

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
- $ 2^0+2^1+…+2^{k-1}=2^k-1$
- 故原命题得证！

2.3 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为 $l o g_{2} (n + 1)$

证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有 $2^{h} - 1$ 个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为 $l o g_{2} (n + 1)$ 。

2.4 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一。
- (等式一) n=n0+n1+n2
另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
- (等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！

03.二叉树分类

3.1 满二叉树

定义：高度为h，并且由 $2^{h} - 1$ 个结点的二叉树，被称为满二叉树。
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3.2 完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
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3.3 二叉查找树

定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
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在二叉查找树中：
- (01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- (02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- (03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
- (04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

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02.二叉树的性质
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01.二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
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结构图如下所示
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除此之外，树还有三个比较相似的概念：高度(Height)、深度(Depth)、层(Level)。
- 他们的定义是这样的：
  - 节点的高度 = 节点到叶子节点的最长路径（有几条边连接的）
  - 节点的深度 = 根节点到这个节点所经历的边的个数
  - 节点的层数 = 节点的深度 + 1
  - 树的高度 = 根节点的高度
- note：记忆方式，高度是从下往上算（叶子节点到该节点），深度是从上往下算（根节点到该节点）、高度和深度都是从 0 计数。层数是从 1 计数，跟深度计算类似。
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02.二叉树的性质

二叉树有以下几个性质： 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 $2^{i - 1}$ (i≥1)。 性质2：深度为k的二叉树至多有 $2^{k} - 1$ 个结点(k≥1)。 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为 $l o g_{2} (n + 1)$ 。 性质4：在任意一棵二叉树中，若叶子结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

2.1 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 $2^{i - 1}$ (i≥1)

证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
- (01) 当i=1时，第i层的节点数目为1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
- (02) 假设当i>1，第i层的节点数目为 $2^{i - 1}$ 。这个是根据(01)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为 $2^{i}$ "即可。
- 由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2× $2^{i - 1}$ = $2^{i}$ 。
- 故假设成立，原命题得证！

2.2 性质2：深度为k的二叉树至多有 $2^{k} - 1$ 个结点(k≥1)

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
- $ 2^0+2^1+…+2^{k-1}=2^k-1$
- 故原命题得证！

2.3 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为 $l o g_{2} (n + 1)$

证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有 $2^{h} - 1$ 个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为 $l o g_{2} (n + 1)$ 。

2.4 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一。
- (等式一) n=n0+n1+n2
另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
- (等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！

03.二叉树分类

3.1 满二叉树

定义：高度为h，并且由 $2^{h} - 1$ 个结点的二叉树，被称为满二叉树。
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3.2 完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
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3.3 二叉查找树

定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
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在二叉查找树中：
- (01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- (02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- (03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
- (04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。