11.线性排序案例

目录介绍

  • 01.先看一下思考题
  • 02.桶排序（Bucket sort）
  • 03.计数排序（Counting sort）
  • 04.基数排序（Radix sort）

01.先看一下思考题

  • 本节讲三种时间复杂度是O(n)的排序算法：桶排序、计数排序、基数排序。因为这些排序的时间复杂度是线性的，所以我们把这类排序算法叫作线性排序（Linear sort）。这三个算法不涉及元素之间的比较操作，是非基于比较的排序算法。
  • 先给出一道思考题：**如何根据年龄给100万用户排序？**你可能会说，用上一节讲的归并、快排就可以搞定啊！是的，它们也可能完成功能，但是时间复杂度最低也是O(nlogn)。有没有更快的排序方法呢？让我们一起进入今天的内容!

02.桶排序（Bucket sort）

2.1 桶排序的核心思想

  • 桶排放的核心思想是，将要排序的数据分到几个有序的桶里，每个桶里的数据再单独进行排序。桶内排序之后，再把每个桶里的数据依次取出，组成的序列就是有序的了。
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2.2 桶排序复杂度

  • 桶排序的时间复杂度为什么是O(n) 呢？
    • 如果要排序的数据有n 个，我们将其均分到 m 个桶内，每个桶里就有 k = n/m 个元素。
    • 每个桶内部使用快速排序，时间复杂度为O(klogk)。
    • m个桶排序的时间复杂度就是 O(mklogk)，把 k = n/m 代入可得时间复杂度为O(nlog(n/m))。
    • 当桶的个数m接近数据个数n时，log(n/m)就是一个非常小的常量。这时候桶排序的时间复杂度就接近于O(n)。
  • 桶排序看起来很优秀，那它是不是可以代替我们之前讲的排序算法呢？
    • 当然是不可以的。桶排序对要排序的数据的要求是非常苛刻的。
    • 首先，要排序的数据需要很容易能划分到 m 个桶，并且，桶与桶之间有着天然的大小顺序。这样每个桶内的数据排序完之后，桶与桶之间就不需要再进行排序了。
    • 其次，数据在各个桶之间分布是比较均匀的。如果数据经过桶的划分之后，有些桶的数据非常多，有些非常少，很不均匀，那桶内排序的时间复杂度就不是常量级了。极端情况一，如果数据都被划分到一个桶里，那就退化成O(nlogn)的排序算法了。

2.3 桶排序使用场景

  • 桶排序比较适合用在外部排序中。
    • 所谓的外部排序就是数据存储在外部磁盘中，数据量比较大，内存有限，无法将数据全部加载到内存中。
  • 举个例子
    • 比如我们有10G 的订单数据，我们希望根据订单金额（假设金额过都是正整数）进行排序，但我们的内存有限，只有几百MB，没办法一次性把10GB 的数据加载到内存中，这个时候怎么办呢？
    • 我们可以先扫描一遍文件，确定订单金额的数据范围。假定订单最小值是1元，最大值是10万元。把订单划分到100个桶里，第一个桶里订单金额的范围是1——1000，第二个桶的范围是1001——2000，依次类推。一个桶对应一个文件，文件编号从 00——99。
    • 理想情况下，10GB的订单数据比较平均的分到100个文件中，每个文字里有约100MB的订单数据。然后把这100个文件依次放入内存中，用快排来排序。当所有文件里的订单数据排好序之后。再按照文件编号，从小到大把这100个的数据写入到一个文件中，可得到这10G订单排序好的数据了。
    • 但数据不大可能均匀分布，若某个桶内的数据特别多，比如订单金额5001——6000的特别多，可以将这个区间的订单数据再细分到十个桶内（5001——5100，5101——5200……），其它的操作同上，就可以解决问题了。总之某个桶里的数据，内存放下下，就再细分。

03.计数排序（Counting sort）

3.1 什么是计数排序

  • 当要排序的 n 个数据，所处的范围并不大时，比如最大值是k，就可以把数据分成 k 个桶。每个桶内的数据是相同的，省去了桶内排序的时间。

3.2 计数排序举例

  • 就拿高考查分系统来说 ？当你查分数时，系统会显示出分数，及在省排名。假设该省50万考生，如何通过成绩快速排序得出名次？
  • 考生满分是900分，最小是0分，这个数据的范围很小，所以可以分成901个桶，对应分数0到900分。根据考生的成绩，我们将50万考生划分到这901个桶里。桶内分数是一样的，不需要排序。依次遍历桶内的数据，放到一个数组中，就实现了50考生的排序。只涉及遍历操作，时间复杂度为O(n)。
  • 计数排序算法的思想就这么简，和桶排序的方法类似，只是桶的粒度大小不一样。但它为什么叫计数排序呢？计数又体现在哪里？
  • 为了方便说明，对数据规模做了简化。假设只有8个考生，分数在0到5分之间。假设这8个考生的分数在0到5之间。把这8个考生的成绩放入一个数组A[8]中，它们分别是：2，5，3，0，2，3，0，3.
  • 考生的成绩从0到5分，我们使用大小为6的数组C[6]表示桶，其中下标对应分数。不过，C[6]内存储的并不是考生，而是对应的考生个数。像我们刚刚举的那个例子，我们只需要遍历一遍考生的分数，就可以得到C[6]的值
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  • 如图中所示，分数为3分考生有3个，小于3分的考生有4个，所以，成绩为3分的考生在排序之后的数组R[8]，会保存下标4，5，6的位置
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  • 那我们如何快速计算出，每个分数的考生在有序数组中对应的存储位置呢？这个处理方非常巧妙，不容易想到。
  • 思路是这样的：我们对C[6]数组顺序求和，C[6]存储的数据就变成了正面的样子。C[k]里存储小于等于分数k 的考生个数
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  • 然后就进入比较难理解的部分。我们从后到前依次扫描数组A。比如，当扫描到 3 时，我们从数组C中取出下标为3的值7，也就是说，到目前为止，包括自己在内，分数小于等于3的考生有7个，也就是说3是数组R中的第7个元素。当3放入数组R后，小于等于3的元素只剩下6个了，所以相应的C[3]要减1，变成6。依次类推，当我们扫描到第2个分数为3的考生时，就会把它放入数组R中的第6个元素的位置。
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  • 过程是有点复杂的，可以对照代码来看。
    // 计数排序，a是数组，n是数组大小。假设数组中存储的都是非负整数。
public void countingSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;

  // 查找数组中数据的范围
  int max = a[0];
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    if (max < a[i]) {
      max = a[i];
    }
  }

  int[] c = new int[max + 1]; // 申请一个计数数组c，下标大小[0,max]
  for (int i = 0; i <= max; ++i) {
    c[i] = 0;
  }

  // 计算每个元素的个数，放入c中
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    c[a[i]]++;
  }

  // 依次累加
  for (int i = 1; i <= max; ++i) {
    c[i] = c[i-1] + c[i];
  }

  // 临时数组r，存储排序之后的结果
  int[] r = new int[n];
  // 计算排序的关键步骤，有点难理解
  for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
    int index = c[a[i]]-1;
    r[index] = a[i];
    c[a[i]]--;
  }

  // 将结果拷贝给a数组
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    a[i] = r[i];
  }
}
  • 这种利用另外一个数组来计数的实现方式是不是很巧妙呢？这也是为什么这种排序算法叫计数排序的原因。计数排序只能用在数据范围不大的场景，如果数据范围k比要排序的数据n在很多，就不适合用计数排序了。而且，只能用于非负整数排序，如果要排序的数据是其他类型，要将其在不改变大小的情况下，转化为非负整数

04.基数排序（Radix sort）

  • 再来看这样一个排序问题。假设我们有10万个手机号码，希望将这10万个手机号码从小到大排序，你有什么比较快速的排序方法呢？
  • 用之前说到的快排，时间复杂度可以做到O(nlogn)，还有更高效的排序算法吗?
  • 这个问题里有这样的规律：假设经比较两个电话号码a ，b 的大小，如果在前面几个位中，a手机号码已经比b 手机号码大了，那后面的几位就不用比较了。
  • 借助稳定排序算法，这里有一个巧妙的实现思路。先按照最后一位来排序手机号码，然后，再按倒数第二们重新排序，以此类推，经过11次排序后，手机号码就都有序了。
  • 简化数据，用这几个字母的例子来看图
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  • 注意，这里按每位来排序的排序算法要是稳定的，否则这个思路就不正确了。
  • 根据每位排序，可以用刚讲过的桶排序或者计数排序，时间复杂度可以做到O(n)。如果要排序的数据有k 位，就需要 k 次排序，总的时间复杂度就是O(kn)。当 k 不大的时候，比如手机号码的例子，是11位，O(kn)就近似等于O(n)。
  • 总结下基数排序，它对要求排序的的数据是有要求的，需要可以分割出独立的“位”来比较，而且位之间有递进关系，如果 a 数据的高位比 b 数据大，那剩下的低位就不用比较了。除此之外，每一位的数据范围不能太大，要可以用线性排序算法来排序，否则，基数排序的时间复杂度就无法做到o(n)了。
贡献者: yangchong211